DIAGNOSTICA 214 min read

INTRODUZIONE

Nell’articolo precedente siamo giunti a definire che le vibrazioni generate da un dispositivo o da una macchina, sono fonte d’informazione sullo stato attuale e che è possibile individuare attraverso esse i guasti. In questo articolo analizzeremo le vibrazioni da cosa e perché sono generate e cercheremo di ottenere una diagnosi attraverso la loro analisi.

VIBRAZIONI DI UNA MACCHINA ELETTRICA_[1]

Le principali aree di vibrazione nelle macchine elettriche rotanti sono:

• Risposta del nucleo di statore alla forza attrattiva sviluppata tra statore e rotore
• Risposta delle testate degli avvolgimenti di statore alle forze elettromagnetiche nei conduttori
• Comportamento dinamico del rotore
• Risposta dei cuscinetti dell’albero alla vibrazione trasmessa dal rotore

Forze elettromagnetiche

La maggior parte delle macchine elettriche basa il proprio funzionamento su due principi:

• La forza esercitata su di un conduttore percorso da corrente elettrica ed immerso in un campo magnetico (Forza di Lorentz)
• La forza prodotta da strutture ferromagnetiche percorse da un flusso magnetico (Forza di Maxwell)

La forza che tende a chiudere il traferro tra due blocchi di materiale ferromagnetico è definita come la forza radiale del tensore di Maxwell. Il tensore di Maxwell rappresenta le forze elettromagnetiche che concorrono in una macchina rotante e sono perpendicolari allo statore ed al rotore e simmetriche, quindi con risultante zero. La perfetta simmetria può avvenire se e solo se rotore e statore sono perfettamente concentrici, per cui ideali. Il tensore di Maxwell può essere rappresentato in termini di induzione magnetica (B) come segue:

Nelle prossime righe c’è la dimostrazione che la frequenza principale di vibrazione di un motore elettrico è il doppio della frequenza di alimentazione, per cui le pagine che seguono sono la dimostrazione matematica di questa asserzione.

Il flusso magnetico Φ è dato dalla forza magnetomotrice M diviso la riluttanza del circuito magnetico (formula a)

dato che la riluttanza del traferro è molto più elevata di quella del nucleo in ferro, in prima approssimazione si tende a trascurare questa riluttanza del nucleo nel calcolo della forza magnetomotrice necessaria a produrre un determinato flusso magnetico Φ.

La riluttanza al traferro è (formula b)

dove

• δ è lunghezza del traferro [m]
• μ₀ è permeabilità magnetica del vuoto [H/m]
• S è la superficie normale attraverso cui passa il flusso [m²]

il flusso Φ è dato dalla densità di flusso dell’induzione magnetica B che attraversa una superficie perpendicolare S (formula c)

mettendo assieme le formule precedenti [a, b e c] si ottiene

La componente armonica principale della forza magnetomotrice M, ha una distribuzione spaziale sinusoidale al traferro, con periodo che dipende dal numero di paia di poli p_pe ampiezza variabile sinusoidalmente nel tempo in funzione della frequenza di alimentazione f

dove

Di conseguenza anche il campo B avrà lo stesso comportamento e la sua prima armonica

Formula dell’induzione magnetica

La componente radiale del tensore di Maxwell è proporzionale al quadrato di B per cui elevando al quadrato l’espressione di B

ricordiamo che

Si nota che la componente radiale dovuta al tensore di Maxwell presenta una componente sinusoidale nel tempo con frequenza doppia della frequenza di alimentazione.

Per cui la frequenza principale delle vibrazioni della cassa di statore è due volte la frequenza di alimentazione, anche quando rotore e statore sono perfettamente concentrici.

In condizioni di perfetta simmetria tra rotore e statore, se integriamo lo sforzo di Maxwell lungo tutto il traferro otteniamo che entrambe le componenti orizzontale e verticale sono nulle. Per cui dobbiamo andare a verificare in caso di eccentricità

Eccentricità statica

È la situazione in cui l’asse del rotore non è in asse con l’asse dello statore

Dato che il rotore è simmetrico al proprio asse non abbiamo sbilanciamento meccanico. In questo caso la lunghezza del traferro può essere espressa

nell’espressione dell’induzione magnetica (vista nel paragrafo precedente) abbiamo che la lunghezza del traferro è a denominatore, per cui dobbiamo calcolare l’inverso

si dimostra che

ponendo

si ottiene

da questa possiamo calcolare l’induzione magnetica dovuta all’eccentricità statica

ponendo

ricordando che

si ottiene

l’induzione al traferro, in presenza di eccentricità statica, è dovuto all’interazione di tre armoniche con diversi numeri di paia di poli

nelle prossime due formule per maggior leggibilità abbiamo raccolto β

Integrando lo sforzo di Maxwell lungo il traferro si ottiene una risultante diversa da zero nella direzione del traferro minimo. Per cui con eccentricità statica si ha un aumento della vibrazione doppia rispetto alla frequenza di alimentazione.

Eccentricità dinamica

l’eccentricità dinamica è il caso in cui il rotore ruota attorno all’asse dello statore e non al proprio asse. Non essendo coincidenti, si ha anche uno sbilanciamento meccanico, che può essere espresso come una forza centrifuga che ruota alla velocità del rotore. Il traferro ruota alla velocità Ω, per cui la sua lunghezza può essere espressa così

l’eccentrica dinamica produce una forza elettromagnetica rotante alle velocità del rotore Ω, che si aggiunge a quella dovuto allo sbilanciamento meccanico.

Seguendo lo stesso ragionamento dell’eccentricità statica si può calcolare l’espressione dell’induzione magnetica B e del tensore di Maxwell che è proporzionale al quadrato di B. Si trova che l’eccentricità dinamica produce delle vibrazioni anche alle frequenze

dover f_s è la frequenza dello statore ed f_r è la frequenza del rotore. Dove nei motori asincroni avremo

mentre nei motori sincroni avremo

Metodi per diagnosticare l’eccentricità

Motori Asincroni

Si è visto nei paragrafi precedenti che l’ampiezza delle armoniche di vibrazione 2f_s, f_r, 2f_s±f_r

• aumenta rapidamente con l’eccentricità (statica e dinamica) specialmente a vuoto
• l’eccentricità statica ha solo una piccola influenza sulla componente a frequenza f_r

L’ampiezza delle armoniche di corrente a frequenza f_s±f_r

• è fortemente dipendente dal grado di eccentricità sia statica che dinamica
• l’effetto dell’eccentricità dinamica aumenta passando dal funzionamento a carico nominale a quello a vuoto

Per diagnosticare l’eccentricità di rotore nei motori asincroni a gabbia, sono state considerate altre armoniche di corrente, che dipendono anche dal numero di barre di rotore.

Generatori sincroni

Le armoniche di corrente sono a frequenza 5f_s, 7f_s, 11f_s, 13f_s, 17f_s, 19f_s, la loro ampiezza aumenta con l’eccentricità dinamica per entrambi i tipi di rotore (poli lisci, poli salienti).

Motori Brushless

l’ampiezza dei componenti di forza radiale e di conseguenza le armoniche di vibrazione, aumenta con l’eccentricità dinamica. Aumenta maggiormente nei motori a magneti interni, rispetto a quelli a magneti superficiali. Perché la diversa posizione dei magneti crea una diversa distribuzione del flusso magnetico nel ferro.

Conclusioni

L’eccentricità provoca una forza elettromagnetica sbilanciata sul rotore, chiamata Unbilanced Magnetic Pull (UMP), che cerca di spostare ulteriormente il rotore. Questo può provocare un aumento della dell’usura dei cuscinetti. Inoltre le forze dovute all’eccentricità, sottopongono gli avvolgimenti di statore a vibrazioni potenzialmente dannose. Un elevato UMP può provocare uno strisciamento del rotore sullo statore.

Qui concludo, ci siamo soffermati soprattutto sull’analisi delle vibrazioni, in quanto l’analisi delle vibrazione è la tecnica più diffusa al momento e ci permette di diagnosticare una eventuale eccentricità del rotore. Non proseguo con la diagnostica in quanto i prossimi punti di analisi non sono oggetto dell’attuale sviluppo di queste pagine. Nei prossimi articoli affronteremo altri temi dell’industria 4.0 come la comunicazione, la gestione della grossa mole di dati generata dai vari sensori presenti in un impianto, per il monitoraggio dello stato.

Si fa notare che tutte le dimostrazioni sono equazioni lineari, ma come già sappiamo dagli anni 60, la natura non è certo un’equazione lineare. Un famoso ingegnere disse: Dio non potrebbe essere più scortese da usare per la natura equazioni non lineari _[2] . Questo per anticipare che tutti i risultati empirici che troveremo discosteranno sempre dalla teoria.

BIBLIOGRAFIA – SITOGRAFIA

• [1] Analisi delle vibrazioni 2 di Lucia Frosini, docente Università di Pavia
• [2] “Dio gioca a dadi? La nuova matematica del caos” di Ian Stewart, pg.89

REVISIONI

• 25 DICEMBRE 2019 Pubblicazione